Geometría analítica

Se le conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.

Lo novedoso de la Geometría Analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (v.g.: 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1 ).


Construcciones fundamentales

En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos números, llamados "abscisa" y "ordenada" del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. Esta correspondencia constituye el fundamento de la Geometría Analítica.

Con la Geometría Analítica se puede determinar figuras geométricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas. Éste es un método alternativo de resolución de problemas, o cuando menos nos proporciona un nuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema.

Localización de un punto en el plano cartesiano

En un plano traza dos rectas perpendiculares (ejes) —que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical—, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).

En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje vertical (eje de ordenadas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto.

Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a 0, así que serán de la forma (x,0), mientras que los del eje de ordenadas tendrán abscisa igual a 0, por lo que serán de la forma (0,y).

El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia 0 a cada uno de los ejes, luego su abscisa será 0 y su ordenada también será 0. A este punto —el (0,0)— se le denomina origen de coordenadas.

ECUACIÓN SEGUNDO GRADO

Resolución Geométrica Usada Por los Árabes Hace 1000 año
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN MATEMÁTICA DE SEGUNDO GRADO USANDO UN MÉTODO GEOMÉTRICO, CREADO EN EL AÑO 800, POR UN UN MATEMÁTICO ÁRABE, CONOCIDO COMO MUSA AL-KHWARIZMI (780-850).
Quiero mostrarte una forma muy ingeniosa de resolver ecuaciones de segundo grado , en una etapa en donde la matemática estaba “en pañales”. Este matemático trabajó en la biblioteca de Bagdad, cuando esta ciudad reemplazó a la gran Alejandría como centro cultural del mundo. Poco se sabe de este hombre, pero si, se confirmó, que escribió unas pocas pero importantes obras sobre aritmética y álgebra, con numerosas aplicaciones practicas. Estudió 6 casos de ecuaciones de segundo grado, y a la incógnita X la llamaba: “cosa”.
Como en aquella época no había un lenguaje estructurado para escribir ecuaciones, y menos, métodos algebraicos para resolverlas, este matemático (al igual que todos), recurrió a la geometría para resolver estas ecuaciones.
Cuando tienes una ecuación de primer grado (la incógnita X, no tiene exponente), la solución solo consiste en ir despejando los términos hasta dejar “solita la X”, y listo.
Por ejemplo: 3X+4=10 de donde X=(10-4)/3 , x=2
Nota que pasé primero el 4 restando al 10 porque estaba sumando, luego el 3 dividiendo porque estaba multiplicando y la X quedó sola en un miembro, y vale 2.
Bien, el problema aparece, cuando la X se eleva al número 2, entonces, queda: X², es decir elevada al cuadrado. Ahora como se hace para dejar sola a la X.
Actualmente (y desde hace siglos), hay un “formulita” muy simple para obtener el valor de X en estos casos, y en cualquier libro de matemática media la puedes encontrar, para no complicarla ahora.
Ejemplo de ecuación de segundo grado:
3x²-6x-10=0
Llevando este problema a 1200 años atrás, donde esas técnicas aun no existían, los matemáticos debieron agudizar su ingenio para tratar de resolver algunos casos de este tipo de ecuaciones, sobre todo porque tenían mucho uso en la vida práctica, donde se calculaban superficies, volúmenes, etc.
Te explicaré esta técnica, conocida como de “completar cuadrados”, utilizando el número de oro (muy usado en el libro Código de Da Vinci), que justamente viene determinado mediante una ecuación de segundo grado.
La proporción áurea es aquella, que respeta la siguiente condición, entre los segmento de la figura:

El cociente entre el segmento menor y el mayor debe ser igual al cociente entre el segmento mayor y el largo total del segmento, que en este caso vale 1.(puede ser 1 metro, 1 kilometro, 1 centímetro, etc).
En número ò en el lenguaje de las matemática es:

Observa la última ecuación y notarás que es de 2do. Grado. Resolver esto hoy, es “cosa de chicos” y si aplicas la fòrmula o resolvente de 2do. Grado como se la conoce, obtendrás el número de oro :X= 0.618......
Te mostraré como hizo este árabe para calcular el valor de X, sin despejar nada, ni usar formulas.
A la ecuación: x²+x-1=0
La pone asì: x²+x=1 (pasa el 1 restando al otro miembro como suma)
Supone lo siguiente:
El primer miembro: x²+x, dice (y tiene razón) que le representa la superficie lateral de una caja (como de zapatos), cuya base es cuadrada de lado x y las cuatro caras laterales tienen un lado menor igual a: ¼ ò 0.25, (como más te guste), por un lado mayor igual a x.
Mirado la figura donde hay una caja desarrollada, se establece que:

La superficie de la base cuadrada vale lado por lado, es decir: x.x=x²
La superficie de cada cara lateral es: ¼.x=x/4
Como hay 4 caras, la superficie total serà: 4. x/4= x
(Observa que al lado menor lo hace valer 0.25 justamente para que al calcular la superpie de las cuatro caras le dè igual a X,que es el segundo termino de su ecuación.)
Esta superficie vale: 1 (uno) , porque asì dice la ecuación incial.
Es decir: x² + x = 1
Primer miembro superficie caja=Segundo miembro: valor de la superficie=1
Ahora, AL-KHWARIZMI, completa los cuatro cuadraditos de los ángulos, para obtener un nuevo gran cuadrado y calcula la superficie del mismo.



Ahora vale: 1 + la superficie de los 4 nuevos cuadraditos de ¼ de lado.
Por lo tanto la superficie del cuadrado grande es:
1+ 4. 0.25 . 0.25=1.25
Si ahora la superficie del cuadrado vale: 1.25, cuanto vale el lado del mismo?. Hay que buscar un número que multiplicado por sì mismo dè 1.25, y buscado se tiene que es el: 1.118 pues:
1.118 . 1.118=1.25
Y ahora llega el remate final, para obtener el valor de X.
Mira la figura y se observa que si el lado del cuadrado mide 1.118 y los lados de cada cuadradito el de 0.25, cuanto vale ahora X? (que justamente es la raíz de la ecuación)

Muy simple debes restar al lado grande, los dos “pedazitos” de los cuadraditos, ósea que: X= 1.118-2. 0.25=0.618...Nota que de esta manera, haciendo una comparación geométrica, este sabio de la alta edad media, pudo llegar a conocer el valor de X.
Aquí se aplicó para obtener el numero de oro de la ecuación planteada a partir de las condiciones de proporcionalidad entre dos segmentos. Este método es universal, y se puede aplicar a cualquier ecuación que tenga soluciones en el campo real. Sólo debe estimarse cuanto vale el lado menor de las caras laterales, para que al calcular el área total de las cuatro caras, te dè el valor del segundo término de la ecuación.

Geometria analitica

Además de servir para desarrollar tu cerebro, la Geometría Analítica resuelve dos problemas fundamentales:
1. La gráfica de una ecuación.
2. La obtención de una ecuación a partir de una serie de datos.
Graficar una ecuación en la mayoría de los casos es sencillo, solo basta darle valores arbitrarios (los que tú quieras) a una letra llamada técnicamente VARIABLE INDEPENDIENTE y obtener con ello los valores de otra letra llamada VARIABLE DEPENDIENTE.
Por ejemplo: Graficar la ecuación Y = X + 1.
En este caso X se llama VARIABLE INDEPENDIENTE e Y se denomina VARIABLE DEPENDIENTE.